Question

5．正整數a、b、c是等腰三角形的三邊長，并且a+bc+b+ca=24，則這樣的三角形有（　　）

• A． 1 個
• B． 2 個
• C． 3 個
• D． 4 個

Answer 1

分析 先將a+bc+b+ca=24 可以化為 （a+b）（c+1）=24，然后根據24分解為大于等于2的兩個正整數的乘積有幾種組合討論是否符合題意即可得出答案．

解答 解：a+bc+b+ca=24 可以化為 （a+b）（c+1）=24，其中a，b，c都是正整數，并且其中兩個數相等，
令a+b=A，c+1=C 則A，C為大于或等于2的正整數，
那么24分解為大于等于2的兩個正整數的乘積有幾種組合2×12，3×8，4×6，6×4，8×3，12×2，
①、A=2，C=12時，c=11，a+b=2，無法得到滿足等腰三角形的整數解；
②、A=3，C=8時，c=7，a+b=3，無法得到滿足等腰三角形的整數解；
③、A=4，C=6時，c=5，a+b=4，無法得到滿足等腰三角形的整數解；
④、A=6，C=4時，c=3，a+b=6，可以得到a=b=c=3，可以組成等腰三角形；
⑤、A=8，C=3時，c=2，a+b=8，可得a=b=4，c=2，可以組成等腰三角形，a=b=4是兩個腰；
⑥、A=12，C=2時，可得 a=b=6，c=1，可以組成等腰三角形，a=b=6是兩個腰．
∴一共有3個這樣的三角形．
故選：C．

點評 本題考查數的整除性及等腰三角形的知識，難度一般，在解答本題時將原式化為因式相乘的形式及將24分解為大于等于2的兩個正整數的乘積有幾種組合是關鍵．