Question

如圖，直三棱柱中，D，E分別是AB，的中點

（1）證明：；

（2）設，求三棱錐的體積

 

Answer 1

（1）詳見解析；（2）

【解析】

試題分析：（1）要證明直線和平面平行，只需證明直線和平面內的直線平行，本題連接交于點，易證是的中位線，，由三角形的中位線定理易證，進而證明；（2）求四面體體積，難點在于求高，若不易求，則可考慮等體積轉化，本題，易證面，則的高，再求底面的面積，進而求體積．

試題解析：（1）連接交于點，則為的中點，

又D是AB的中點，連接DF，則． 2分

因為平面A1CD，平面A1CD， 4分

所以BC1∥平面A1CD 5分

（2）因為ABC-A1B1C1是直三棱柱，所以AA1⊥平面ABC,

因為CD平面ABC， 所以AA1⊥CD， 6分

由已知AC=CB，D為AB的中點，所以CD⊥AB， 7分

又AA1∩AB=A，于是CD⊥平面ABB1A1， 8分

由AA1=AC=CB=2，AB=得

∠ACB=90°，CD=，A1D=，DE=，A1E=3，

故A1D2+DE2=A1E2，DE⊥A1D，

所以 12分

考點：1、直線和平面平行的判定定理；2、四面體的體積．