Question

已知函數f（x）=-x³+3x²+9x+a，在區間[-2，2]上的最大值為20，則實數a=（　　）

• A、2
• B、-2
• C、3
• D、-3

Answer 1

考點：利用導數求閉區間上函數的最值

專題：導數的概念及應用

分析：先求出端點的函數值f（-2）與f（2），比較f（2）與f（-2）的大小，然后根據函數f（x）在[-1，2]上單調遞增，在[-2，-1]上單調遞減，得到f（2）和f（-1）分別是f（x）在區間[-2，2]上的最大值和最小值，建立等式關系求出a．

解答： 解：∵f′（x）=-3x²+6x+9．
令f′（x）＜0，解得x＜-1或x＞3，
所以函數f（x）的單調遞減區間為（-∞，-1），（3，+∞）．
∵f（-2）=8+12-18+a=2+a，f（2）=-8+12+18+a=22+a，
∴f（2）＞f（-2）．
因為在（-1，3）上f′（x）＞0，所以f（x）在[-1，2]上單調遞增，
又由于f（x）在[-2，-1]上單調遞減，
因此f（2）和f（-1）分別是f（x）在區間[-2，2]上的最大值和最小值，于是有22+a=20，
解得a=-2．
故選：B

點評：本題主要考查導函數的正負與原函數的單調性之間的關系，即當導函數大于0時原函數單調遞增，當導函數小于0時原函數單調遞減．以及在閉區間上的最值問題等基礎知識，同時考查了分析與解決問題的綜合能力．