Question

若在拋物線y=ax²（a＞0）的上方做一個半徑為r的圓與拋物線相切于原點O，且該圓與拋物線沒有別的公共點，則r的最大值是？

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質

專題：計算題,作圖題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：由題意設圓的方程為x²+（y-r）²=r²，與拋物線y=ax²（a＞0）聯立，從而可化得ay²-2ary+y=0；從而得

2ar-1

a

≤0，從而求最大值．

解答： 解：如圖，設圓的方程為x²+（y-r）²=r²，
與拋物線y=ax²（a＞0）聯立消x得，

y

a

+（y-r）²=r²，
即ay²-2ary+y=0；
則y=0或y=

2ar-1

a

；
故

2ar-1

a

≤0，
則r≤

1

2a

；
故r的最大值是

1

2a

．

點評：本題考查了圓與圓錐曲線的位置關系應用，屬于基礎題．