Question

求證：sin²α+cosαcos（

π

3

+α）-sin²（

π

6

-α）的值是與α無關的定值．

Answer 1

考點：三角函數中的恒等變換應用

專題：三角函數的求值

分析：直接根據三角函數的恒等變換進行變形，利用三角函數的誘導關系變換，注意“方變倍”思想的靈活應用．

解答： 證明：sin²α+cosαcos（

π

3

+α）-sin²（

π

6

-α）
=

1-cos2α

2

-

1-cos( π 3 -2α)

2

+cosαcos(

π

3

+α)
=

cos2αcos π 3 +sin2αsin π 3

2

-

cos2α

2

+cosαcos(

π

3

+α)
=

cos2α

4

+

3 sin2α

4

-

cos2α

2

+cosα（cos

π

3

cosα-sin

π

3

sinα)
=

3 sin2α

4

-

cos2α

4

+

1

2

cos2α-

3 sinαcosα

2

=

3 sin2α

4

-

cos2α

4

+

1

2

•

1+cos2α

2

-

3 sin2α

4

=

1

4

所以：sin²α+cosαcos（

π

3

+α）-sin²（

π

6

-α）的值是與α無關的定值．

點評：本題考查的知識要點：三角函數函數關系是的恒等變換，三角函數“方變倍”思想的應用．屬于基礎題型．