Question

已知：向量

OA

=（

3

，0），O為坐標原點，動點M滿足：|

OM

+

OA

|+|

OM

-

OA

|=4．
（1）求動點M的軌跡C的方程；
（2）已知直線l₁，l₂都過點B（0，1），且l₁⊥l₂，l₁，l₂與軌跡C分別交于點D，E，試探究是否存在這樣的直線使得△BDE是等腰直角三角形．若存在，指出這樣的直線共有幾組（無需求出直線的方程）；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：軌跡方程,直線與圓錐曲線的關系

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）由：|

OM

+

OA

|+|

OM

-

OA

|=4，

OA

=（

3

，0），知動點M的軌跡是以點（±

3

，0）為焦點、4為長軸長的橢圓，即可求動點M的軌跡C的方程；
（2）設直線方程，求出D，E的坐標，利用△BDE是等腰直角三角形，可得|BD|=|BE|，即

|- 8k 1+4k2 |

1+k2

=

| 8k k2+4 |

1+ 1 k2

，從而可得結論．

解答： 解：（1）由：|

OM

+

OA

|+|

OM

-

OA

|=4，

OA

=（

3

，0），知動點M的軌跡是以點（±

3

，0）為焦點、4為長軸長的橢圓，
∴c=

3

，a=2，
∴b=1，
∴所求的方程為

x2

4

+y2=1．
（2）設BD：y=kx+1，代入上式得（1+4k²）x²+8kx=0，
∴x₁=0，x₂=-

8k

1+4k2

=x_D，
∵l₁⊥l₂，∴以-

1

k

代k，得x_E=

8k

k2+4

∵△BDE是等腰直角三角形，
∴|BD|=|BE|，
∴

|- 8k 1+4k2 |

1+k2

=

| 8k k2+4 |

1+ 1 k2

，
∴|k|（k²+4）=1+4k²，①
k＞0時①變為k³-4k²+4k-1=0，∴k=1或

3± 5

2

；
k＜0時①變為k³+4k²+4k-1=0，k=-1或

-3± 5

2

．
∴使得△BDE是等腰直角三角形的直線共有4組．

點評：本題考查橢圓方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查學生分析解決問題的能力，確定橢圓的方程是關鍵．