Question

已知函數f（x）=blnx-ax+1（ab＞0）
（1）討論f（x）在其定義域上的單調性．
（2）若b=1時，f（x）≤0恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性,函數恒成立問題

專題：綜合題,導數的綜合應用

分析：（1）求導數，利用導數的正負，結合函數的定義域可得函數的單調區間；
（2）b=1時，f（x）≤0恒成立，即lnx-ax+1≤0恒成立，即a≥

lnx+1

x

恒成立，求出y=

lnx+1

x

的最大值，即可求出實數a的取值范圍．

解答： 解：（1）∵f（x）=blnx-ax+1（ab＞0），
∴f′（x）=

b

x

-a=

b-ax

x

，
當a＞0，b＞0時，由f′（x）＞0，結合函數的定義域可得函數的單調增區間為（0，

b

a

）；
由f′（x）＜0，結合函數的定義域可得函數的單調減區間為（

b

a

，+∞）；
當a＜0，b＜0時，由f′（x）＞0，結合函數的定義域可得函數的單調增區間為（

b

a

，+∞）；
由f′（x）＜0，結合函數的定義域可得函數的單調減區間為（0，

b

a

）；
（2）b=1時，f（x）≤0恒成立，即lnx-ax+1≤0恒成立，即a≥

lnx+1

x

恒成立，
設y=

lnx+1

x

，則y′=

-lnx

x2

，
∴函數y=

lnx+1

x

在（0，1）上單調遞增，在（1，+∞）上單調遞減，
∴x=1時，y=

lnx+1

x

的最大值為1，
∴a≥1．

點評：本題考查求實數a的取值范圍，考查利用導數研究函數的單調性，考查恒成立求參數的取值范圍問題．恒成立求參數的取值范圍問題是近幾年高考中出現頻率相當高的一類型題，它比較全面的考查了導數的應用，突出了導數的工具性作用．