Question

已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的掕長為2，動點P在正方體表面運動，且PA=r，（0＜r＜2

3

），記P的軌跡長度為f（r），則關于r的方程f（r）=k的解的個數可以為（　　）

• A、0，2，3，4
• B、0，1，2
• C、1，2，3
• D、0，2，4，6

Answer 1

考點：軌跡方程

專題：函數的性質及應用,導數的綜合應用,空間位置關系與距離

分析：由題意畫出圖形并得出相應的解析式，畫出其圖象，經過討論即可得出答案．

解答： 解：根據題意：①當0＜r≤1時，f（r）=3×

π

2

×r=

3πr

2

，
∴f（

1

2

）=

3π

4

．此時，由一次函數的單調性可得：0＜f（r）≤

3π

2

＜5，
②當1＜r≤

2

時，在平面ABCD內，設以點A為圓心，r為半徑的圓弧與BC、CD分別交于點E、F，則cos∠DAF=

1

r

，∠EAF=

π

2

-2∠DAF，
∴cos∠EAF=sin2∠DAF=2×

1-( 1 r )2

×

1

r

=

2 r2-1

r2

，
cos∠EAG=

2r2-( 2 r2-1 )2

2r2

=

1

r2

，
∴f（r）=3×r×arccos

2 r2-1

r2

+3×r×arccos

1

r2

，
③當

2

＜r＜

3

時，
∵CM=

r2-2

，
∴C₁M=C₁N=1-

r2-2

，
∴cos∠MAN=

2r2-[ 2 (1- r2-2 )]2

2r2

=

1+2 r2-2

r2

，
∴f（r）=3×r×arccos

1+2 r2-2

r2

，
綜上可知：當0＜r≤1時，f（r）=

3πr

2

；
當1＜r≤

2

時，f（r）=3×r×arccos

2 r2-1

r2

+3×r×arccos

1

r2

，
當

2

＜r＜

3

時，f（r）=3×r×arccos

1+2 r2-2

r2

，．
根據以上解析式及圖形和對稱性可得f（r）的圖象：
由圖象不難看出：函數y=f（r）與y=k的交點個數分別為，0，2，3，4．
即關于r的方程f（r）=k的解的個數可能為0，2，3，4．
故選：A．

點評：熟練掌握數形結合、分類討論的思想方法、數形結合的思想方法是解題的關鍵．