Question

求函數f（x）=

x2+2x

x+ 1 2

（x≥0）的最大值．

Answer 1

考點：函數的最值及其幾何意義

專題：函數的性質及應用,導數的概念及應用

分析：先求導，令導數為0，利用導數求極值然后求最值．

解答： 解：∵函數f（x）=

x2+2x

x+ 1 2

，
∴f′（x）=

( x2+2x )′(x+ 1 2 )- x2+2x (x+ 1 2 )′

(x+ 1 2 )2

，
=

1 2 × 1 x2+2x (2x+2)(x+ 1 2 )- x2-2x

(x+ 1 2 )2

，
=

(x+1)(x+ 1 2 )-(x2+2x)

(x+ 1 2 )2 x2+2x

=

- 1 2 (x-1)

(x+ 1 2 )2 x2+2x

，
∵x≥0，
∴（x+

1

2

）²

x2+2x

＞0，
∴令f′（x）=0得x=1，
且0＜x＜1時，f′（x）＞0，函數單調遞增；當x＞1時，f′（x）＜0；
∴x=1時取得最大值f（1）=

2 3

3

．

點評：本題考查函數的單調性和求最值，利用導數求極值然后求最值，是常用方法．