Question

（本題滿分14分）已知函數，（a為實數）．

（1）當a=5時，求函數在處的切線方程；

（2）求在區間上的最小值；

（3）若存在兩不等實數，使方程成立，求實數a的取值范圍．

 

Answer 1

（1） ;（2） ; （3） .

【解析】

試題分析：（1）寫出當a=5時g（x）的表達式，求出導數，求得切線的斜率和切點，再由點斜式方程，即可得到切線方程；

（2）求出f（x）的導數，求出極值點，討論①當t時，②當0＜t＜時，函數f（x）的單調性，即可得到最小值；

（3）由g（x）=2exf（x）可得2xlnx=-x2+ax-3，得到a=x+2lnx+，令h（x）═x+2lnx+，求出導數，列表求出極值，求出端點的函數值，即可得到所求范圍．

試題解析：

（1）當時,.

，故切線的斜率為.

所以切線方程為:,即.

（2）,

	單調遞減	極小值（最小值）	單調遞增

 

當時,在區間上為增函數,

所以

②當時,在區間上為減函數,在區間上為增函數,

所以

（3）由，可得：，,

令, .

	單調遞減	極小值（最小值）	單調遞增

 

,, .

.

實數的取值范圍為

考點：1．利用導數研究曲線上某點切線方程；2．利用導數求閉區間上函數的最值．