Question

19．已知S_n為數列{a_n}的前n項和，若a_n（4+cosnπ）=n（2-cosnπ），則S₂₀=（　　）

• A． 31
• B． 122
• C． 324
• D． 484

Answer 1

分析 a_n（4+cosnπ）=n（2-cosnπ），可得：n=2k-1時，4+cosnπ=3=2-cosnπ；n=2k時，4+cosnπ=5，2-cosnπ=1，a_2k-1=2k-1=n；a_2k=$\frac{2k}{5}$=$\frac{n}{5}$．（k∈N^*）．

解答 解：∵a_n（4+cosnπ）=n（2-cosnπ），
∵n=2k-1時，4+cosnπ=3=2-cosnπ；n=2k時，4+cosnπ=5，2-cosnπ=1．
a_2k-1=2k-1=n；a_2k=$\frac{2k}{5}$=$\frac{n}{5}$．
∴a₁=1，a₂=$\frac{2}{5}$，a₃=3，a₄=$\frac{4}{5}$，a₅=5，…．
∴S₂₀=（1+3+…+19）+$（\frac{2}{5}+\frac{4}{5}+…+\frac{20}{5}）$
=$\frac{10×（1+19）}{2}$+$\frac{1}{5}$×$\frac{10×（2+20）}{2}$
=122．
故選：B．

點評 本題考查了數列遞推關系、等差數列的通項公式與求和公式、三角函數求值，考查了分類討論方法、推理能力與計算能力，屬于中檔題．