Question

18．如圖，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側棱$A{A_1}=\sqrt{3}$，AB=2，D，E分別為棱AC，B₁C₁的中點，M，N分別為線段AC₁和BE的中點．
（1）求證：直線MN∥平面ABC；
（2）求二面角C-BD-E的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取棱CC₁的中點F，連MF，NF，推出MF∥AC，NF∥BC，然后證明MF∥平面ADC，NF∥平面ADC，證明平面MNF∥平面ADC，推出MN∥平面ADC．
（Ⅱ）取線段BC的中點O，連AO，連OE，以O為坐標原點，分別以$\overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow{OE}$，$\overrightarrow{OA}$為x，y，z軸正方向建立空間直角坐標系O-xyz．設AB=2，求出相關點的坐標，求出平面ADB的一個法向量，平面BDE的法向量，通過向量的數量積求解二面角B₁-AD-B的余弦值．

解答 解：（Ⅰ）取棱CC₁的中點F，連MF，NF，則MF∥AC，NF∥BC，
∵MF?平面ADC，AC?平面ADC，
∴MF∥平面ADC，同理NF∥平面ADC
又∵MF∩NF=F，且MF?平面MNF，NF?平面MNF，
∴平面MNF∥平面ADC
又MN?平面MNF，
∴MN∥平面ADC
（Ⅱ）取線段BC的中點O，連AO，則AO⊥BC，連OE，則OE∥BB₁，
又因為BB₁⊥平面ABC，所以OE⊥平面ABC
以O為坐標原點，分別以$\overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow{OE}$，$\overrightarrow{OA}$為x，y，z軸正方向建立空間直角坐標系O-xyz．

設AB=2，則$A{A_1}=AO=\sqrt{3}$，各點坐標如下：$O（0，0，0），A（0，0，\sqrt{3}），B（1，0，0）$，C（-1，0，0），$D（-\frac{1}{2}，0，\frac{{\sqrt{3}}}{2}），{B_1}（1，\sqrt{3}，0）$，$E（0，\sqrt{3}，0）$，
∵平面BCD即平面Oxz∴取平面ADB的一個法向量為$\overrightarrow m=（0，1，0）$
設平面BDE的法向量為$\overrightarrow n=（{x_0}，{y_0}，{z_0}）$，則   $\overrightarrow n•\overrightarrow{AD}=0$，$\overrightarrow n•\overrightarrow{D{B_1}}=0$
又   $\overrightarrow{DB}=（\frac{3}{2}，0，-\frac{{\sqrt{3}}}{2}），\overrightarrow{BE}=（-1，\sqrt{3}，0）$，
∴$\left\{\begin{array}{l}\frac{3}{2}{x_0}-\frac{{\sqrt{3}}}{2}{z_0}=0\\-{x_0}+\sqrt{3}{y_0}=0\end{array}\right.$令${x_0}=\sqrt{3}$得平面ADB₁的一個法向量為$\overrightarrow n=（\sqrt{3}，1，3）$，
∴$cos＜\overrightarrow m，\overrightarrow n＞=\frac{1}{{1•\sqrt{3+1+9}}}=\frac{{\sqrt{13}}}{13}$
故二面角B₁-AD-B的余弦值為$\frac{{\sqrt{13}}}{13}$．

點評 本題考查直線與平面平行的判定定理以及性質定理的應用，二面角的平面角的求法，考查空間想象能力以及計算能力．