Question

7．使奇函數f（x）=sin（2x+θ）+$\sqrt{3}$cos（2x+θ）在[-$\frac{π}{4}$，0]上為減函數的θ（θ∈（0，π））的值為$\frac{2π}{3}$．

Answer 1

分析 利用輔助角公式基本公式將函數化為y=Asin（ωx+φ）的形式，根據f（x）是奇函數，可得f（0）=0，求出θ，x∈[-$\frac{π}{4}$，0]上為減函數，確定θ的值．

解答 解：函數f（x）=sin（2x+θ）+$\sqrt{3}$cos（2x+θ）．
化簡可得：f（x）=2sin（2x+θ+$\frac{π}{3}$），
∵f（x）是奇函數，可得f（0）=0，即：θ+$\frac{π}{3}$=kπ，k∈Z，
∴θ=kπ-$\frac{π}{3}$．
在x∈[-$\frac{π}{4}$，0]上為減函數；即$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{π}{4}×2+\frac{π}{3}+θ≥\frac{π}{2}+2kπ}\\{θ+\frac{π}{3}≤\frac{3π}{2}+2kπ}\end{array}\right.$k∈Z，
可得：$\frac{2π}{3}+2kπ≤θ≤\frac{7π}{6}+2kπ$．
綜上可得：滿足題意的θ的值為$\frac{2π}{3}$．
故答案為：$\frac{2π}{3}$．

點評 本題主要考查對三角函數的化簡能力和三角函數的圖象和性質的運用，利用三角函數公式將函數進行化簡是解決本題的關鍵．屬于中檔題．