Question

15．在底面為正三角形的直棱柱（側棱垂直于底面的棱柱）ABC-A₁B₁C₁中，AB=2，AA₁=3，點D為棱BD的中點，點E為A，C上的點，且滿足A₁E=mEC（m∈R），當二面角E-AD-C的余弦值為$\frac{\sqrt{10}}{10}$時，實數m的值為（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． $\frac{1}{2}$
• D． 3

Answer 1

分析 由題意畫出圖形，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，取AC中點O，以O為坐標原點，以OB、OC所在直線為x、y軸建立如圖所示空間直角坐標系，求出平面AED的一個法向量（用含有m的代數式表示），再求得平面ADC的一個法向量，結合二面角E-AD-C的余弦值為$\frac{\sqrt{10}}{10}$列式求得m值．

解答 解：在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，取AC中點O，
以O為坐標原點，以OB、OC所在直線為x、y軸建立如圖所示空間直角坐標系，
∵AB=2，AA₁=3，點D為棱BD的中點，
∴A（0，-1，0），C（0，1，0），D（$\frac{\sqrt{3}}{2}，\frac{1}{2}，0$），
A₁（0，-1，3），
又點E為A₁C上的點，且滿足A₁E=mEC（m∈R），
∴$\overrightarrow{{A}_{1}E}=m\overrightarrow{EC}$，
設E（x，y，z），則$\overrightarrow{{A}_{1}E}=（x，y+1，z-3）$，$\overrightarrow{EC}=（-x，1-y，-z）$，
∴（x，y+1，z-3）=（-mx，m-my，-mz），得x=0，y=$\frac{m-1}{m+1}$，
z=$\frac{3}{m+1}$．
∴E（0，$\frac{m-1}{m+1}$，$\frac{3}{m+1}$），
則$\overrightarrow{AD}=（\frac{\sqrt{3}}{2}，\frac{3}{2}，0）$，$\overrightarrow{AE}=（0，\frac{2m}{m+1}，\frac{3}{m+1}）$，
設平面AED的一個法向量為$\overrightarrow{m}=（x，y，z）$，
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AD}=\frac{\sqrt{3}}{2}x+\frac{3}{2}y=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AE}=\frac{2m}{m+1}y+\frac{3}{m+1}z=0}\end{array}\right.$，取x=$-\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{m}=（-\sqrt{3}，1，-\frac{2}{3}m）$．
平面ADC的一個法向量$\overrightarrow{n}=（0，0，1）$．
∴|cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$|=|$\frac{\frac{2}{3}m}{\sqrt{3+1+\frac{4}{9}{m}^{2}}×1}$|=$\frac{\sqrt{10}}{10}$．
解得：m=1．
故選：A．

點評 本題考查二面角的平面角及其求法，訓練了利用空間向量求解二面角的大小，是中檔題．