Question

5．設函數f（x）在R上存在導函數f′（x），對于任意的實數x，都有f（x）=4x²-f（-x），當x∈（-∞，0）時，f′（x）＜4x，若f（m+1）≤f（-m）+4m+2，則實數m的取值范圍是（　　）

• A． [-$\frac{1}{2}$，+∞）
• B． [-$\frac{3}{2}$，+∞）
• C． [-1，+∞）
• D． [-2，+∞）

Answer 1

分析 利用構造法設g（x）=f（x）-2x²，推出g（x）為奇函數，判斷g（x）的單調性，然后推出不等式得到結果．

解答 解：∵f（x）=4x²-f（-x），
∴f（x）-2x²+f（-x）-2x²=0，
設g（x）=f（x）-2x²，則g（x）+g（-x）=0，
∴函數g（x）為奇函數．
∵x∈（-∞，0）時，f′（x）＜4x，
g′（x）=f′（x）-4x＜0，
故函數g（x）在（-∞，0）上是減函數，
故函數g（x）在（0，+∞）上也是減函數，
若f（m+1）≤f（-m）+4m+2，
則f（m+1）-2（m+1）²≤f（-m）-2m²，
即g（m+1）≤g（-m），
∴m+1≥-m，解得：m≥-$\frac{1}{2}$，
故選：A．

點評 本題考查函數奇偶性、單調性、導數的綜合應用，考查分析問題解決問題的能力，難度比較大．