Question

10．如圖，四棱錐P-ABCD中，BC∥AD，BC=1，AD=3，AC⊥CD，且平面PCD⊥平面ABCD．
（1）求證：AC⊥PD；
（2）在線段PA上是否存在點E，使BE∥平面PCD？若存在，確定點E的位置，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用面面垂直的性質定理即可證明；
（2）線段PA上，存在點E，使BE∥平面PCD．在△PAD中，分別取PA、PD靠近點P的三等分點E、F，連接EF．由平行線分線段成比例定理在三角形中的應用，即可得到EF∥AD，EF=$\frac{1}{3}AD$=1．利用已知條件即可得到EF∥BC，EF=BC，得到四邊形BCFE為平行四邊形，再利用線面平行的判定定理即可證明．

解答 （Ⅰ）證明：∵平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD=CD，AC⊥CD，AC?平面ABCD，
∴AC⊥平面PCD，
∵PD?平面PCD，∴AC⊥PD．
（Ⅱ）線段PA上，存在點E，使BE∥平面PCD．
下面給出證明：
∵AD=3，
∴在△PAD中，分別取PA、PD靠近點P的三等分點E、F，連接EF．
∵$\frac{PE}{PA}=\frac{PF}{PD}=\frac{1}{3}$，∴EF∥AD，EF=$\frac{1}{3}AD$=1．
又∵BC∥AD，∴BC∥EF，且BC=EF，
∴四邊形BCFE是平行四邊形，
∴BE∥CF，BE?平面PCD，CF?平面PCD，
∴BE∥平面PCD．

點評 本題考查了面面垂直的性質定理、平行線分線段成比例定理在三角形中的應用、平行四邊形的判定和性質定理、線面平行的判定定理是解題的關鍵．屬于中檔題