Question

19．直角坐標系xOy中，以O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C₁的極坐標方程為$ρ=2\sqrt{2}sin（θ+\frac{π}{4}）$，直線l的參數方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=1-\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\\{y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\end{array}}\right.$（t為參數），直線l與曲線C₁交于A，B兩點．
（Ⅰ）求|AB|的長度；
（Ⅱ）若曲線C₂的參數方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=3+\sqrt{2}cosα}\\{y=4+\sqrt{2}sinα}\end{array}}\right.$（α為參數），P為曲線C₂上的任意一點，求△PAB的面積的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用兩角和的正弦公式展開，即可求得曲線C₁的直角坐標系方程，消去t，求得直線l的方程，利用點到直線的距離公式，即可求得|AB|的長度；
（Ⅱ）同理求得曲線C₂的直角坐標系方程，P到直l的最小距離為$d=3\sqrt{2}-\sqrt{2}=2\sqrt{2}$，求得$|{AB}|=\sqrt{6}$，-1≤m≤3，即可求得△PAB的面積的最小值．

解答 解：（Ⅰ）∵$ρ=2\sqrt{2}sin（θ+\frac{π}{4}）=2sinθ+2cosθ$，ρ²=2ρsinθ+2ρcosθ，
∴x²+y²=2x+2y，
即曲線C₁的直角坐標系方程為（x-1）²+（y-1）²=2…（2分）
直線l的直角坐標系方程為x+y-1=0…（3分）
圓心C₁到直線l的距離為d=$\frac{丨1+1-1丨}{\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，…（4分）
∴$|{AB}|=2\sqrt{2-\frac{1}{2}}=\sqrt{6}$…（5分）
（Ⅱ）曲線C₂的直角坐標系方程為（x-3）²+（y-4）²=2…（6分）
P到直l的最小距離為$d=3\sqrt{2}-\sqrt{2}=2\sqrt{2}$，…（8分）
又$|{AB}|=\sqrt{6}$，-1≤m≤3，
∴△PAB的面積的最小值為$2\sqrt{3}$…（10分）

點評 本題考查圓的極坐標方程，直線與圓的位置關系，考查點到直線的距離公式，考查計算能力，屬于中檔題．