Question

5．函數y=sinx與y=cosx在x∈[0，$\frac{π}{2}$]內的交點為P，在點P處兩函數的切線與x軸所圍成的三角形的面積為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 聯立y=sinx與y=cosx求出在[0，$\frac{π}{2}$]內的交點P坐標，然后求出該點處兩切線方程，從而求出三角形的三個頂點坐標，最后根據三角形面積公式求解．

解答 解：由sinx=cosx，且x∈[0，$\frac{π}{2}$]，得x=$\frac{π}{4}$，
∴y=sinx與y=cosx在[0，$\frac{π}{2}$]內的交點P的坐標是（$\frac{π}{4}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
函數y=sinx與y=cosx的導函數分別為y=cosx與y=-sinx，
則兩函數在（$\frac{π}{4}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）處的切線的斜率分別為$\frac{\sqrt{2}}{2}，-\frac{\sqrt{2}}{2}$．
得兩條切線方程分別是y-$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（x-$\frac{π}{4}$）和y-$\frac{\sqrt{2}}{2}$=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$（x-$\frac{π}{4}$），
y=0時，x=$\frac{π}{4}$-1，x=$\frac{π}{4}$+1，
于是三角形三頂點坐標分別為（$\frac{π}{4}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），（$\frac{π}{4}$-1，0），（$\frac{π}{4}$+1，0），
S=$\frac{1}{2}$×2×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
即它們與x軸所圍成的三角形的面積是$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故答案為：$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題主要考查了利用導數研究函數的再某點切線方程，以及三角方程和三角形面積公式，屬于中檔題．