Question

18．已知定義在R上的奇函數f（x），當x≥0時，f（x）單調遞增，若不等式f（-4t）＞f（2mt²+m）對任意實數t恒成立，則實數m的取值范圍是（　　）

• A． （-∞，-$\sqrt{2}$）
• B． （-$\sqrt{2}$，0）
• C． （-∞，0）∪（$\sqrt{2}$，+∞）
• D． （-∞，-$\sqrt{2}$）∪（$\sqrt{2}$，+∞）

Answer 1

分析 根據題意，由函數的奇偶性以及在[0，+∞）上的單調性分析可得f（x）在（-∞，+∞）上也是增函數，則不等式f（-4t）＞f（2mt²+m）對任意實數t恒成立可以轉化為2mt²+4t+m＜0對任意實數t恒成立，由二次函數的性質分析可得$\left\{\begin{array}{l}{m＜0}\\{16-4•2m•m＜0}\end{array}\right.$，解可得m的取值范圍，即可得答案．

解答 解：根據題意，f（x）是奇函數且在[0，+∞）上單調遞增，
則f（x）在（-∞，+∞）上也是增函數，
則不等式f（-4t）＞f（2mt²+m）對任意實數t恒成立⇒-4t＞2mt²+m對任意實數t恒成立，
即2mt²+4t+m＜0對任意實數t恒成立，
分析可得$\left\{\begin{array}{l}{m＜0}\\{16-4•2m•m＜0}\end{array}\right.$，
解可得m＜-$\sqrt{2}$，
即m的取值范圍是（-∞，-$\sqrt{2}$），
故選：A．

點評 本題考查函數的奇偶性與單調性的綜合應用，關鍵是將不等式轉化為t與m之間的關系．