Question

已知函數f（x）=2

2

cosxsin（x+

π

4

）-1（x∈R）．則函數f（x）在區間[-

π

4

，

π

4

]上的最大值和最小值分別是（　　）

• A、最大值為

  2

  ，最小值為-1
• B、最大值為

  2

  ，最小值為-

  2

• C、最大值為2

  2

  -1，最小值為-2

  2

  -1
• D、最大值為1，最小值為-1

Answer 1

考點：兩角和與差的正弦函數,正弦函數的圖象

專題：計算題,三角函數的求值,三角函數的圖像與性質

分析：運用兩角和的正弦公式和二倍角公式，化簡f（x），再由x的范圍，運用正弦函數的圖象和性質，即可得到最值．

解答： 解：函數f（x）=2

2

cosxsin（x+

π

4

）-1
=2

2

cosx（

2

2

sinx+

2

2

cosx）-1=2sinxcosx+2cos²x-1
=sin2x+cos2x=

2

（

2

2

sin2x+

2

2

cos2x）=

2

sin（2x+

π

4

），
由于x∈[-

π

4

，

π

4

]，即有2x+

π

4

∈[-

π

4

，

3π

4

]，
sin（2x+

π

4

）∈[-

2

2

，1]，
即x=-

π

4

時，取得最小值，且為-1，
x=

π

8

時，取得最大值，且為

2

．
故選A．

點評：本題考查三角函數的化簡和求最值，考查兩角和的正弦公式和二倍角公式，以及正弦函數的圖象和性質，考查運算能力，屬于中檔題．