Question

18．已知雙曲線C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的漸近線方程為y=±$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$x，左、右焦點分別為F₁、F₂，M為雙曲線C的一條漸近線上某一點，且∠OMF₂=$\frac{π}{2}，{S_{△OM{F_2}}}=8\sqrt{3}$，則雙曲線C的焦距為（　�。�

• A． $8\sqrt{3}$
• B． 16
• C． 8
• D． $4\sqrt{3}$

Answer 1

分析 根據雙曲線的簡單性質可得tan∠MOF₂=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，再根據三角形的面積公式計算即可．

解答 解：雙曲線C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的漸近線方程為y=±$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$x，左、右焦點分別為F₁、F₂，M為雙曲線C的一條漸近線上某一點，
∴tan∠MOF₂=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠MOF₂=$\frac{π}{6}$
∵∠OMF₂=$\frac{π}{2}$，
∴OM=csin$\frac{π}{6}$=$\frac{1}{2}$c，MF₂=ccos$\frac{π}{6}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$c，
∴${S}_{△MO{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$OM•MF₂=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$c×$\frac{\sqrt{3}}{2}$c=8$\sqrt{3}$，
∴c=8，
∴2c=16，
故選：B

點評 本題考查了雙曲線的簡單性質，以及三角形的面積公式，屬于基礎題