Question

8．設函數F（x）=$\frac{f（x）}{e^x}$是定義在R上的函數，其中f（x）的導函數為f'（x），滿足f'（x）＜f（x）對于x∈R恒成立，則（　　）

• A． f（2）＞e²f（0），f（2 017＞e²⁰¹⁷f（0）
• B． f（2）＞e²f（0），f（2 017）＜e²⁰¹⁷f（0）
• C． f（2）＜e²f（0），f（2 017）＞e²⁰¹⁷f（0）
• D． f（2）＜e²f（0），f（2 017）＜e²⁰¹⁷f（0）

Answer 1

分析 對f（x）求導，利用f'（x）＜f（x）得到單調性，利用單調性求2與0以及2017與0的函數值的大小．

解答 解：F'（x）=[$\frac{f（x）}{e^x}$]'=$\frac{f'（x）{e}^{x}-f（x）{e}^{x}}{（{e}^{x}）^{2}}=\frac{f'（x）-f（x）}{{e}^{x}}$，因為f'（x）＜f（x），
所以F'（x）＜0，所以F（x）為減函數，
因為2＞0，2017＞0，
所以F（2）＜F（0），F（2017）＜F（0），
即$\frac{f（2）}{{e}^{2}}＜\frac{f（0）}{{e}^{0}}$，所以f（2）＜e²f（0）；
$\frac{f（2017）}{{e}^{2017}}＜\frac{f（0）}{{e}^{0}}$，即f（2017）＜e²⁰¹⁷f（0）；
故選D．

點評 本題考查了利用函數的單調性判斷函數值的大小關系；關鍵是正確判斷F（x）的單調性，并正確運用．