Question

18．已知函數$f（x）=\frac{{{e^x}+{e^{-x}}+sinx}}{{{e^x}+{e^{-x}}}}$，其導函數記為f'（x），則f（2017511）+f'（2017511）+f（-2017511）-f'（-2017511）=（　　）

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 2017511

Answer 1

分析 先求導，再判斷導函數f'（x）的奇偶性，f（x）=1+$\frac{sinx}{{e}^{x}+{e}^{-x}}$，設g（x）=$\frac{sinx}{{e}^{x}+{e}^{-x}}$，判斷其奇偶性，即可求出答案．

解答 解：f（x）=1+$\frac{sinx}{{e}^{x}+{e}^{-x}}$，
∴f′（x）=$\frac{cosx（{e}^{x}+{e}^{-x}）-sinx（{e}^{x}-{e}^{-x}）}{（{e}^{x}+{e}^{-x}）^{2}}$，
∴f′（-x）=$\frac{cosx（{e}^{-x}+{e}^{x}）-sin（-x）（{e}^{-x}-{e}^{x}）}{（{e}^{x}+{e}^{-x}）^{2}}$=f′（x），
∴f′（x）為偶函數，
∴f'（2017511）-f'（-2017511）=0，
設g（x）=$\frac{sinx}{{e}^{x}+{e}^{-x}}$，
則g（-x）=-$\frac{sinx}{{e}^{x}+{e}^{-x}}$=-g（x），
∴g（x）為奇函數，
∴f（2017511）+f（-2017511）=1+g（2017511）+1+g（-2017511）=2，
∴f（2017511）+f'（2017511）+f（-2017511）-f'（-2017511）=2，
故選：C

點評 本題考查了導數的運算法則和函數的奇偶性的判斷和奇偶性的性質，屬于中檔題