Question

10．在平面直角坐標系xOy中，曲線C₁的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=4cosθ}\\{y=3sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數），以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，得曲線C₂的極坐標方程為ρ+6sinθ-8cosθ=0（ρ≥0）．
（1）化曲線C₁的參數方程為普通方程，化曲線C₂的極坐標方程為直角坐標方程；
（2）直線l：$\left\{\begin{array}{l}{x=2+t}\\{y=-\frac{3}{2}+λt}\end{array}\right.$（t為參數）過曲線C₁與y軸負半軸的交點，求與直線l平行且與曲線C₂相切的直線方程．

Answer 1

分析 （1）由曲線C₁的參數方程消去參數θ，能求出曲線C₁的普通方程；曲線C₂的極坐標方程轉化為ρ²+6ρsinθ-8ρcosθ=0，由此能求出曲線C₂的直角坐標方程．
（2）由曲線C₁的方程$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$，能求出曲線C₁與y軸負半軸的交點，從而求出直線l的方程，設與直線l平行且與曲線C₂相切的直線方程為3x-4y+m=0，利用點到直線的距離公式能求出與直線l平行且與曲線C₂相切的直線方程．

解答 解：（1）由曲線C₁的參數方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=4cosθ}\\{y=3sinθ}\end{array}}\right.$（θ為參數），
消去參數θ化為普通方程$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$；
由曲線C₂的極坐標方程為ρ+6sinθ-8cosθ=0（ρ≥0）得ρ²+6ρsinθ-8ρcosθ=0，
化為直角坐標方程x²+y²+6y-8x=0，即（x-4）²+（y+3）²=25．
（2）由曲線C₁的方程$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$，
令x=0得y=±3，∴曲線C₁與y軸負半軸的交點為（0，-3），
∵直線l：$\left\{\begin{array}{l}{x=2+t}\\{y=-\frac{3}{2}+λt}\end{array}\right.$（t為參數）過點（0，-3），
∴$\left\{{\begin{array}{l}{0=2+t}\\{-3=-\frac{3}{2}+λt}\end{array}}\right.$，解得$\left\{{\begin{array}{l}{t=-2}\\{λ=\frac{3}{4}}\end{array}}\right.$，
∴直線l的方程為3x-4y-12=0．
設與直線l平行且與曲線C₂相切的直線方程為3x-4y+m=0，
則圓心C₂（4，-3）到直線l的距離d=r，即$\frac{|3×4-4×（-3）+m|}{{\sqrt{{3^2}+{4^2}}}}=5$，
化為|m+24|=25，解得m=1或-49，
∴與直線l平行且與曲線C₂相切的直線方程為3x-4y+1=0或3x-4y-49=0．

點評 本題考查曲線的直角坐標方程的求法，考查直線方程的求法，考查極坐標方程、直角坐標方程、參數方程的互化、圓的性質、直線與圓相切、點到直線的距離公式等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、函數與方程思想，是中檔題．