Question

10．如圖，在棱長為4的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分別是AB、DD₁的中點，點P是DD₁上一點，且PB∥平面CEF，則四棱錐P-ABCD外接球的表面積為41π．

Answer 1

分析 連結BD交CE于O，連結OF，則當BP∥OF時，PB∥平面CEF，推導出DP=3，四棱錐P-ABCD外接球就是三棱錐P-ABC的外接球，從而求出四棱錐P-ABCD外接球的半徑，由此能求出四棱錐P-ABCD外接球的表面積．

解答 解：連結BD交CE于O，則$\frac{BO}{OD}$=$\frac{BE}{CD}$=$\frac{1}{2}$，
連結OF，則當BP∥OF時，PB∥平面CEF，則$\frac{PF}{FD}$=$\frac{1}{2}$，
∵F是DD₁的中點，DD₁=4，∴DP=3，
又四棱錐P-ABCD外接球就是三棱錐P-ABC的外接球，
∴四棱錐P-ABCD外接球的半徑為：$\frac{\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}+{4}^{2}}}{2}$=$\frac{\sqrt{41}}{2}$．
外接球的表面積為：4$π×（\frac{\sqrt{41}}{2}）^{2}$=41π．
故答案為：41π．

點評 本題考查四棱錐外接球的表面積的求法，考查正方體、四棱錐、球等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力、空間想象能力，考查化歸與轉化思想、函數與方程思想、數形結合思想，是中檔題．