Question

4．已知F₁，F₂為橢圓ax²+y²=4a（0＜a＜1）的兩個焦點，A（0，2），點P為橢圓上任意一點，則|PA|-|PF₂|的最小值是（　　）

• A． a
• B． 2a
• C． 2$\sqrt{1-a}$-4
• D． 2$\sqrt{2-a}$-4

Answer 1

分析 求得橢圓的標準方程：根據橢圓的定義求得|PA|-|PF₂|=|PA|-（4-|PF₁|）=|PA|+|PF₁|-4≥|AF₁|-4，利用兩點之間的距離公式，即可求得|PA|-|PF₂|的最小值．

解答 解：由橢圓的標準方程：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{4a}=1$，由0＜a＜1，則橢圓的焦點在x軸上，
設F₁（-c，0），F₂（c，0），c²=4-4a，
由橢圓的定義：|PF₁|+|PF₂|=4，
即|PF₂|=4-|PF₁|，
則|PA|-|PF₂|=|PA|-（4-|PF₁|）=|PA|+|PF₁|-4，
≥|AF₁|-4=2$\sqrt{{c}^{2}+4}$-4=2$\sqrt{2-a}$-4，
當A，P，F₁共線時，|PA|-|PF₂|的最小值2$\sqrt{2-a}$-4，
故選：D．

點評 本題考查橢圓方程與性質，考查用橢圓的定義，運用三點共線取得最小值的方法，考查計算能力，屬于中檔題．．