Question

14．如圖，橫梁的橫斷面是一個矩形，而橫梁的強度和它的矩形橫斷面的寬與高的平方的乘積成正比，要將直徑為d的圓木鋸成強度最大的橫梁，則橫斷面的高和寬分別為（　　）

• A． $\sqrt{3}$d，$\frac{\sqrt{3}}{3}$d
• B． $\frac{\sqrt{3}}{3}$d，$\frac{\sqrt{6}}{3}$d
• C． $\frac{\sqrt{6}}{3}$d，$\frac{\sqrt{3}}{3}$d
• D． $\frac{\sqrt{6}}{3}$d，$\sqrt{3}$d

Answer 1

分析 根據橫梁的強度和它的矩形橫斷面的寬與高的平方的乘積成正比，建立關系．由勾股定理可得x²+y²=d²，利用導函數的性質求出最值．

解答 解：由題意，設橫梁的強度為T，則T=xy²．（x＞0，y＞0）
由勾股定理可得x²+y²=d²，
可得：T=x（d²-x²）=xd²-x³．
則T′=d²-3x²．
令T′=0．
可得：x=$\fracp9vv5xb5{\sqrt{3}}$或$-\fracp9vv5xb5{\sqrt{3}}$（舍去）．
當$0＜x＜\fracp9vv5xb5{\sqrt{3}}$時，可得T′＞0，則T是單調遞增函數．
當$x＞\fracp9vv5xb5{\sqrt{3}}$時，可得T′＜0，則T是單調遞減函數．
∴x=$\fracp9vv5xb5{\sqrt{3}}$時，T取得最大值，此時y=$\sqrt{p9vv5xb5^{2}-{x}^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}d$．
故選：B．

點評 本題考查了函數模型在實際問題中的應用，利用到了導函數的性質求解最值，屬于中檔題．