Question

5．已知a＞0，函數y=x³-ax在區間[1，+∞）上是單調函數，則a的最大值為（　　）

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 法一：先利用導函數求出原函數的單調增區間，再讓[1，+∞）是所求區間的子集可得結論．
法二：由題意a＞0，函數f（x）=x³-ax，首先求出函數的導數，然后根據導數與函數單調性的關系進行判斷．

解答 解：法一∵f（x）=x³-ax，
∴f′（x）=3x²-a=3（x-$\frac{\sqrt{a}}{3}$）（x+$\frac{\sqrt{a}}{3}$）
∴f（x）=x³-ax在（-∞，-$\frac{\sqrt{a}}{3}$），（$\frac{\sqrt{a}}{3}$，+∞）上單調遞增，
∵函數f（x）=x³-ax在[1，+∞）上單調，
∴$\frac{\sqrt{a}}{3}$≤1⇒a≤3
∴a的最大值為 3
法二：由法一得f′（x）=3x²-a，
∵函數f（x）=x³-ax在[1，+∞）上是單調函數，
根據二次函數的性質，顯然是遞增函數，
∴在[1，+∞）上，f′（x）≥0恒成立，
即a≤3x²在[1，+∞）上恒成立，
∴a≤3，
故選：D．

點評 本小題主要考查函數單調性的應用、函數導數與函數單調性之間的關系、不等式的解法等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想．屬于基礎題．