Question

3．從某居民區隨機抽取10個家庭，獲得第i個家庭的月收入x_i（單位：千元）與月儲蓄y_i（單位：千元）的數據資料，算得$\sum_{i=1}^{10}$x_i=80，$\sum_{i=1}^{10}$y_i=20，$\sum_{i=1}^{10}$x_iy_i=184，$\sum_{i=1}^{10}$x${\;}_{i}^{2}$=720．附：線性回歸方程$\widehat{y}$=$\widehat{b}$x+$\widehat{a}$中，$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}^{2}-n\overline{{x}^{2}}}$，$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat{b}$$\overline{x}$，其中$\overline{x}$，$\overline{y}$為樣本平均值．
（1）求家庭的月儲蓄y對月收入x的線性回歸方程$\widehat{y}$=$\widehat{b}$x+$\widehat{a}$；
（2）判斷變量x與y之間是正相關還是負相關；
（3）若該居民區某家庭月收入為7千元，預測該家庭的月儲蓄．

Answer 1

分析 （1）由題意求出$\overline{x}$，$\overline{y}$，根據$\sum_{i=1}^{5}{x}_{i}^{2}$，$\sum_{i=1}^{5}{x}_{i}{y}_{i}$，代入公式求值$\widehat{b}$，又由$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat{b}$$\overline{x}$，得出$\widehat{a}$從而得到回歸直線方程；
（2）變量y的值隨x的值增加而增加，可知x與y之間是正相關還是負相關．
（3）代入x=7即可預測該家庭的月儲蓄．

解答 解：（1）由題意知，n=10，$\sum_{i=1}^{10}$x_i=80，$\sum_{i=1}^{10}$y_i=20，
∴$\overline{x}$=$\frac{80}{10}=8$，$\overline{y}$=$\frac{20}{10}=2$
那么：n•$\overline{x}$•$\overline{y}$=10×8×2=160，n•$\overline{x}$²=10×64=640．
$\sum_{i=1}^{10}$x_iy_i=184，$\sum_{i=1}^{10}$x${\;}_{i}^{2}$=720．
由$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}^{2}-n\overline{{x}^{2}}}$=$\frac{184-160}{720-640}=0.3$．
$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat{b}$$\overline{x}$=2-0.3×8=-0.4，
故所求回歸方程為y=0.3x-0.4．
（2）由于變量y的值隨x的值增加而增加，即$\widehat{b}$=0.3＞0．
故x與y之間是正相關．
（3）將x=7代入回歸方程可以預測該家庭的月儲蓄為y=0.3×7-0.4=1.7（千元）．

點評 本題考查了線性回歸方程的求法及應用，屬于基礎題．