Question

12．函數y=log_ax+1（a＞0且a≠1）的圖象恒過定點A，若點A在直線$\frac{x}{m}$+$\frac{y}{n}$-4=0（m＞0，n＞0）上，則$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$=4；m+2n的最小值為$\frac{2\sqrt{2}+3}{4}$．

Answer 1

分析 由題意，求出A的坐標，代入直線$\frac{x}{m}$+$\frac{y}{n}$-4=0，可以基本不等式的性質求解即可．

解答 解：函數y=log_ax+1（a＞0且a≠1）的圖象恒過定點A，
即x=1，y=1，
∴A的坐標為（1，1）．
將A代入直線$\frac{x}{m}$+$\frac{y}{n}$-4=0．
可得：$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=4$．
得：$\frac{1}{4m}+\frac{1}{4n}=1$．
那么：（m+2n）（$\frac{1}{4n}+\frac{1}{4m}$）=$\frac{m}{4n}+\frac{n}{2m}+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}$≥2$\sqrt{\frac{m}{4n}×\frac{n}{2m}}+\frac{3}{4}$=$\frac{2\sqrt{2}+3}{4}$．
（當且僅當m=$\sqrt{2}$n=$\frac{1+\sqrt{2}}{4}$時，取等號）
∴m+2n的最小值為$\frac{2\sqrt{2}+3}{4}$．
故答案為：4，$\frac{2\sqrt{2}+3}{4}$．

點評 本題考查了對數函數的恒過定點的求法和基本不等式的運用．屬于中檔題．