Question

11．已知函數$f（x）=\sqrt{3}sin2x+2{cos^2}x+1$．
（I）求函數f（x）的單調遞增區間和對稱中心；
（II）設△ABC內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且$c=\sqrt{3}，f（C）=3$，若向量$\overrightarrow m=（sinA，-1）$與向量$\overrightarrow n=（2，sinB）$垂直，求a，b的值．

Answer 1

分析 （I）利用二倍角和輔助角公式將函數化簡，結合三角函數的性質求解單調遞增區間和對稱中心即可．
（II）根據f（C）=3，求出C角大小；向量$\overrightarrow m=（sinA，-1）$與向量$\overrightarrow n=（2，sinB）$垂直，建立關系，求出角A，B的關系，利用余弦定理即可求出a，b的值．

解答 解：（I）函數$f（x）=\sqrt{3}sin2x+2{cos^2}x+1$．
化簡可得：$f（x）=\sqrt{3}sin2x+cos2x+2=2sin（2x+\frac{π}{6}）+2$，
令$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{π}{2}+2kπ$，
得：$-\frac{π}{3}+kπ≤x≤\frac{π}{6}+kπ$，
∴函數f（x）的單調遞增區間為$[-\frac{π}{3}+kπ，\frac{π}{6}+kπ]，k∈z$．
∵對稱中心橫坐標：$2x+\frac{π}{6}=kπ$，k∈Z，
∴$x=-\frac{π}{12}+\frac{kπ}{2}，k∈Z$，
∴對稱中心：$（-\frac{π}{12}+\frac{kπ}{2}，2）$，k∈Z．
（II）由題意可知，$f（C）=2sin（2C+\frac{π}{6}）+2=3$，
∴$sin（2C+\frac{π}{6}）=\frac{1}{2}$，
∵0＜C＜π，
∴$2C+\frac{π}{6}=\frac{π}{6}$或$2C+\frac{π}{6}=\frac{5π}{6}$，
即C=0（舍）或$C=\frac{π}{3}$．
又∵$\overrightarrow m=（sinA，-1）$與$\overrightarrow n=（2，sinB）$垂直，
∴2sinA-sinB=0，即2a=b…①．
由余弦定理：
${c^2}={a^2}+{b^2}-2abcos\frac{π}{3}={a^2}+{b^2}-ab=3$…②．
由①②解得，a=1，b=2．
故得a的值為1，b的值為2．

點評 本題主要考查三角函數的圖象和性質以及向量的垂直的坐標計算和余弦定理的運用，利用三角函數公式將函數進行化簡是解決本題的關鍵．