Question

1．數列{a_n}滿足下列關系：a₁=2a，a_n+1=2a-$\frac{{a}^{2}}{{a}_{n}}$，a≠0，求數列{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析 a₁=2a，a_n+1=2a-$\frac{{a}^{2}}{{a}_{n}}$，a≠0，可得a₂=$\frac{3}{2}$a，a₃=$\frac{4}{3}$a，…，猜想a_n=$\frac{n+1}{n}$a．利用數學歸納法證明即可．

解答 解：∵a₁=2a，a_n+1=2a-$\frac{{a}^{2}}{{a}_{n}}$，a≠0，
∴a₂=$\frac{3}{2}$a，a₃=$\frac{4}{3}$a，…，
猜想a_n=$\frac{n+1}{n}$a．
下面利用數學歸納法證明：（1）n=1時，a₁=2a成立．
（2）假設n=k∈N^*時，a_k=$\frac{k+1}{k}$a．
則n=k+1時，a_k+1=2a-$\frac{{a}^{2}}{\frac{k+1}{k}a}$=$\frac{k+2}{k+1}$a，也成立．
∴對于n=k+1時，猜想成立．
由（1）（2）可知：對于n∈N^*時，猜想成立．

點評 本題考查了數列遞推關系、數學歸納法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．