Question

8．在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，已知2cos（B-C）-1=4cosBcosC．
（1）求A；
（2）若a=$\sqrt{7}$，△ABC的面積為$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，求b+c．

Answer 1

分析 （1）利用角恒等變換，化簡已知等式可得cos（B+C）=-$\frac{1}{2}$，結合三角形內角的范圍算出B+C=$\frac{2π}{3}$，再利用三角形內角和即可得到A的大小；
（2）根據三角形面積公式可求bc的值，由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA，代入數據化簡可得（b+c）²-3bc=7，兩式聯立可算出b+c的值．

解答 （本題滿分為12分）
解：（1）∵2cos（B-C）-1=4cosBcosC，
∴2（cosBcosC+sinBsinC）-1=4cosBcosC，
即2（cosBcosC-sinBsinC）=-1，可得2cos（B+C）=-1，
∴cos（B+C）=-$\frac{1}{2}$．
∵0＜B+C＜π，可得B+C=$\frac{2π}{3}$．
∴A=π-（B+C）=$\frac{π}{3}$．…（6分）
（2）由（1），得A=$\frac{π}{3}$．
∵S_△ABC=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$=$\frac{1}{2}$bcsin$\frac{π}{3}$，
∴得bc=6．①
由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA，得：7=b²+c²-2bccos$\frac{π}{3}$，即b²+c²-bc=7
∴（b+c）²-3bc=7                        ②
將①代入②，得（b+c）²-18=7，可得：（b+c）²=25，得b+c=5．…（12分）．

點評 本題給出三角形的角滿足的條件，求A的大小，并在已知三角形面積的情況下求邊長．著重考查了三角恒等變換、正余弦定理和三角形面積公式等知識，屬于基礎題．