Question

16．如圖，底面是正三角形的直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D是BC的中點，AA₁=AB=2．
（Ⅰ）求證：A₁C∥平面AB₁D；
（Ⅱ）求直線A₁D與平面AB₁D所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連結AB₁，BA₁，交于點O，連結OD推導出OD∥A₁C，由此能證明A₁C∥平面AB₁D．
（Ⅱ）以A為原點，AD為x軸，過A作DC的平行線為y軸，AA₁為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出直線A₁D與平面AB₁D所成角的正弦值．

解答 證明：（Ⅰ）連結AB₁，BA₁，交于點O，連結OD，
∵D是BC中點，底面是正三角形的直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
四邊形ABB₁A₁是正方形，
∴O是A₁B的中點，∴OD∥A₁C，
∵OD?平面AB₁D，∴A₁C?平面AB₁D，
∴A₁C∥平面AB₁D；
解：（Ⅱ）以A為原點，AD為x軸，過A作DC的平行線為y軸，
AA₁為z軸，建立空間直角坐標系，
A₁（0，0，2），D（$\sqrt{3}，0，0$），A（0，0，0），
B₁（$\sqrt{3}$，-1，2），C（$\sqrt{3}$，1，0），
$\overrightarrow{{A}_{1}D}$=（$\sqrt{3}$，0，-2），$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（$\sqrt{3}，-1，2$），$\overrightarrow{AD}$=（$\sqrt{3}，0，0$），
設平面AB₁D的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{A}_{1}B}=\sqrt{3}x-y+2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AD}=\sqrt{3}x=0}\end{array}\right.$，取z=1，得$\overrightarrow{n}$=（0，2，1），
設直線A₁D與平面AB₁D所成角為θ，
則sinθ=$\frac{|\overrightarrow{{A}_{1}D}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{{A}_{1}D}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2}{\sqrt{7}•\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{35}}{35}$．
∴直線A₁D與平面AB₁D所成角的正弦值為$\frac{2\sqrt{35}}{35}$．

點評 本題考查線面平行的證明，考查線面角的正弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、數形結合思想，是中檔題．