Question

已知函數 （為實常數） ．

（1）當時，求函數在上的最大值及相應的值；

（2）當時，討論方程根的個數．

（3）若，且對任意的，都有，求實數a的取值范圍．

 

Answer 1

（1）當時，；

（2）當時，即時，方程有2個相異的根；當或時，方程有一個根；當時，方程有0個根.

（3）.

【解析】

試題分析：（1）當時，，利用的符號判斷函數的單調性，并求出其最大值.

（2）由題意，方程根的個數等于時，方程根的個數，

設，問題轉化為函數圖象與直線的交點的個數問題；可通過導數研究函數的單調性及最值利用數形結合法解決；

（3）當時，在時是增函數，又函數是減函數，不妨設，則等價于，即，故原命題等價于函數在時是減函數.

試題解析：【解析】
（1），當時，.當時，，又，故，當時取等號.

（2）易知，故，方程根的個數等于時，方程根的個數.

設，

當時，，函數遞減，當時，，函數遞增.

又，作出與直線的圖象，由圖象知：

當時，即時，方程有2個相異的根；

當或時，方程有一個根；

當時，方程有0個根.

（3）當時，在時是增函數，又函數是減函數，不妨設，則等價于，即，故原命題等價于函數在時是減函數，所以恒成立，即在時恒成立.因為在時是減函數，所以.

考點：1、導數在研究函數性質中的應用；2、函數的零點與方程的根；3、等價轉化的思想與數形結合的思想.