Question

已知：sinα-sinβ=sinγ，cosα-cosβ=cosγ，求cos²α+cos²β+cos²γ的值．

Answer 1

考點(diǎn)：同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用

專題：三角函數(shù)的求值

分析：sinα-sinβ=sinγ，cosα-cosβ=cosγ，兩邊平方相加可得：cos(α-β)=

1

2

，于是α=β+2kπ±

π

3

．（k∈Z）．當(dāng)α=β+2kπ+

π

3

時(shí)，cosγ=cos(β+

π

3

)-cosβ=-

1

2

cosβ-

3

2

sinβ，代入即可得出；同理當(dāng)α=β+2kπ-

π

3

時(shí)，代入即可得出．

解答： 解：∵sinα-sinβ=sinγ，cosα-cosβ=cosγ，
兩邊平方相加可得：2-2cos（α-β）=1，
∴cos(α-β)=

1

2

，
∴α=β+2kπ±

π

3

．（k∈Z）
當(dāng)α=β+2kπ+

π

3

時(shí)，
∴cosγ=cos(β+

π

3

)-cosβ=-

1

2

cosβ-

3

2

sinβ，
∴cos²α+cos²β+cos²γ=cos2(β+2kπ+

π

3

)+cos²β+(-

1

2

cosβ-

3

2

sinβ)2
=(

1

2

cosβ-

3

2

sinβ)2+(

1

2

cosβ+

3

2

sinβ)2+cos²β
=

3

2

．
同理當(dāng)α=β+2kπ-

π

3

時(shí)，cos²α+cos²β+cos²γ=

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、特殊角的三角函數(shù)值，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．