Question

已知直線y=2與函數f（x）=3sin（ωx+Φ）（ω＞0，|Φ|＜

π

2

）的圖象在y軸右側的交點依次為A，B，C，…，A，C兩點在x軸上的射影是A₁C₁，若矩形ACC₁A₁的面積為4，且f（2013）=-

3 3

2

，則f（x）的單調區間

 

．

Answer 1

考點：正弦函數的圖象

專題：三角函數的圖像與性質

分析：結合矩形ACC₁A₁的面積為4，求出周期T=2，繼而求出ω，再根據函數周期性，求出Φ的值，再根據正弦函數的單調性，求出單調區間

解答： 解：∵矩形ACC₁A₁的面積為4，AA₁=2，
∴A₁C₁=2，
∴T=2，
∴ω=

2π

T

=π，
∵f（2013）=-

3 3

2

，
∴f（2013）=f（1006+1）=f（1）=-

3 3

2

，
∴3sin（π+Φ）=-

3 3

2

，
∴sinΦ=

3

2

，
∵|Φ|＜

π

2

，
∴Φ=

π

3

，
∴f（x）=3sin（πx+

π

3

），
∴-

π

2

+2kπ＜πx+

π

3

≤

π

2

+2kπ，

π

2

+2kπ＜πx+

π

3

≤

3π

2

+2kπ，k∈z，
即-

5

6

+2k＜x≤

1

6

+2k，

1

6

+2k＜x≤

7

6

+2k，k∈z，
故f（x）的單調增區間為（-

5

6

+2k，

1

6

+2k]，單調減區間為（

1

6

+2k，

7

6

+2k]，k∈z，
故答案為：單調增區間為（-

5

6

+2k，

1

6

+2k]，單調減區間為（

1

6

+2k，

7

6

+2k]，k∈z

點評：本題考查了三角函數的周期的單調性求法，考查計算能力，屬于基礎題．