Question

已知函數f（x）=

1，x是有理數 0，x是無理數

，下列命題是真命題的是

 

（只填命題序號）．
①函數f（x）是偶函數；②對任意x∈R，f（x+

2

）=f（x）；
③對任意x∈R，f（x+2）=f（x）；
④對任意x，y∈R，f（x+y）=

1

2

（f（x）+f（x））；
⑤若存在x，y∈R，使得f（x+y）=f（x）+f（y），則x，y都為無理數．

Answer 1

考點：分段函數的應用

專題：計算題,函數的性質及應用,簡易邏輯

分析：由題意討論x，y是有理數還是無理數，從而確定5個命題的真假．

解答： 解：∵當x是有理數時，-x也是有理數，
∴f（-x）=f（x）=1；
又∵當x是無理數時，-x也是無理數，
∴f（-x）=f（x）=0；
故函數f（x）是偶函數，故①正確；
取x=0，則f（0）=1，f（

2

）=0；故②不正確；
當x是有理數時，x+2也是有理數，
當x是無理數時，x+2也是無理數，
故對任意x∈R，f（x+2）=f（x）成立，故③正確；
取x=0，y=

2

，則f（x+y）=0，

1

2

（f（x）+f（x））=

1

2

，故④不正確；
若x，y都是有理數，則f（x+y）=1，f（x）+f（y）=2；
若x，y是有理數和無理數，則f（x+y）=0，f（x）+f（y）=1；
若x，y都為無理數，則f（x+y）=f（x）+f（y）或f（x+y）=1，f（x）+f（y）=0；
故⑤正確；
故答案為：①③⑤．

點評：本題考查了學生對分段函數的掌握及命題的真假性的判斷，屬于中檔題．