Question

設函數f（x）=

a

x2

+lnx，g（x）=x³-x²-3．
（Ⅰ）討論函數f（x）的單調性；
（Ⅱ）若存在x1，x2∈[-

1

3

，3]，使得g（x₁）-g（x₂）≥M成立，求滿足條件的最大整數M；
（Ⅲ）如果對任意的s，t∈[

1

3

，2]，都有sf（s）≥g（t）成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性,利用導數求閉區間上函數的最值

專題：計算題,函數的性質及應用,導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）先求函數f（x）的定義域，再求導f′(x)=-

2a

x3

+

1

x

=

x2-2a

x3

，從而討論確定函數的單調性；
（Ⅱ）存在x1，x2∈[-

1

3

，3]，使得g（x₁）-g（x₂）≥M成立可化為[g（x₁）-g（x₂）]_max≥M，從而化為求g（x）的最值，從而求解．
（Ⅲ）化簡可知g（x）的最大值是1，從而可得只需當x∈[

1

3

，2]時，xf(x)=

a

x

+xlnx≥1恒成立，可化為a≥x-x²lnx恒成立，從而轉化為最值問題．

解答： 解：（Ⅰ）函數f（x）=

a

x2

+lnx的定義域（0，+∞），
f′(x)=-

2a

x3

+

1

x

=

x2-2a

x3

，
①當a≤0時，f′（x）≥0，
函數f（x）在（0，+∞）上單調遞增；
②當a＞0時，由f′（x）≥0得x≥

2a

，
函數f（x）的單調遞增區間為(

2a

，+∞)；
由f′（x）≤0得0＜x≤

2a

，
函數f（x）的單調遞減區間為(0，

2a

)．

（Ⅱ）存在x1，x2∈[-

1

3

，3]，使得g（x₁）-g（x₂）≥M成立，
可化為[g（x₁）-g（x₂）]_max≥M；
考察g(x)=x3-x2-3，g′(x)=3x2-2x=3x(x-

2

3

)；

x	- 1 3	(- 1 3 ，0)	0	(0， 2 3 )	2 3	( 2 3 ，3)	3
g'（x）		+	0	-	0	+
g（x）	- 85 27	遞增	-3	遞減	- 85 27	遞增	15

由上表可知g(x)min=g(-

1

3

)=g(

2

3

)=-

85

27

，g（x）_max=g（3）=15；
故[g(x1)-g(x2)]max=g(x)max-g(x)min=

490

27

，
所以滿足條件的最大整數M=18．

（Ⅲ）當x∈[

1

3

，2]時，由（Ⅱ）可知，g（x）在[

1

3

，

2

3

]上是減函數，
在[

2

3

，2]上增函數，而g(

1

3

)=-

83

27

＜g(2)=1，
∴g（x）的最大值是1．
要滿足條件，
則只需當x∈[

1

3

，2]時，xf(x)=

a

x

+xlnx≥1恒成立，
可化為a≥x-x²lnx恒成立，
記h（x）=x-x²lnx，h′（x）=1-x-2xlnx，h′（1）=0．
當x∈[

1

3

，1)時，1-x＞0，xlnx＜0，h′（x）＞0，
即函數h（x）=x-x²lnx在區間[

1

3

，1)上遞增，
當x∈（1，2]時，1-x＜0，xlnx＞0，h′（x）＜0，
即函數h（x）=x-x²lnx在區間（1，2]上遞減，
∴x=1，h（x）取到極大值也是最大值h（1）=1．
所以a≥1．

點評：本題考查了導數的綜合應用及恒成立問題，考查了構造函數的應用，屬于難題．