Question

20．若對任意x∈（0，$\frac{1}{2}$），恒有4^x＜log_ax（a＞0且a≠1），則實數a的取值范圍是[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1）．

Answer 1

分析 對任意的x∈（0，$\frac{1}{2}$），4^x≤log_ax恒成立，化為x∈（0，$\frac{1}{2}$）時，y=log_ax的圖象恒在y=4^x的圖象的上方，
在同一坐標系中，分別畫出兩個函數的圖象，由此求出實數a的取值范圍．

解答 解：∵a∈（0，1）∪（1，+∞），
當x∈（0，$\frac{1}{2}$）時，函數y=4^x的圖象如下圖所示：

∵對任意的x∈（0，$\frac{1}{2}$）時，總有4^x＜log_ax恒成立，
若不等式4^x＜log_ax恒成立，則y=log_ax的圖象恒在y=4^x圖象的上方（如圖中虛線所示）
∵y=log_ax的圖象與y=4^x的圖象交于（$\frac{1}{2}$，2）點時，
a=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故虛線所示的y=log_ax的圖象對應的底數a應滿足$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤a＜1．
故答案為：[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1）．

點評 本題考查了指數函數、對數函數的圖象與性質的應用問題，熟練掌握指數函數、對數函數的圖象與性質是解題的關鍵．