Question

5．設數列{a_n}的前n項和S_n=2ⁿ⁺¹-2，數列{b_n}滿足b_n=a_n•log₂a_n．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）求數列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）n=1時，a₁=S₁=2，${a_n}={S_n}-{S_{n-1}}={2^n}$，由此能求出數列{a_n}的通項公式．
（2 ）由b_n=a_n•log₂a_n=${2}^{n}•lo{g}_{2}{2}^{n}$=n•2ⁿ，利用錯位相減法能求出數列{b_n}的前n項和．

解答 解：（1）∵數列{a_n}的前n項和S_n=2ⁿ⁺¹-2，
∴n=1時，a₁=S₁=2，（2分）
${S_n}={2^{n+1}}-2$，∴${S_{n-1}}={2^n}-2$（n≥2）
∴${a_n}={S_n}-{S_{n-1}}={2^n}$（n≥2），
n=1時，上式成立，
∴數列{a_n}的通項公式為：${a_n}={2^n}$．    （6分）
（ 2 ）∵b_n=a_n•log₂a_n=${2}^{n}•lo{g}_{2}{2}^{n}$=n•2ⁿ，（7分）
∴數列{b_n}的前n項和：
T_n=1•2+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ，①
2T_n=1•2²+2•2³+3•2⁴+…+n•2ⁿ⁺¹，②
①-②，得：-T_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹
=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}-n•{2}^{n+1}$=（1-n）•2ⁿ⁺¹-2，（10分）
∴${T_n}=（{n-1}）{2^{n+1}}+2$（12分）

點評 本題考查數列的通項公式的求法，考查數列的前n項和公式的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意錯位相減法的合理運用．