Question

15．如圖，已知四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，且∠DAB=60°，△PAB是邊長為a的正三角形，且平面PAB⊥平面ABCD，已知點M是PD的中點．
（1）證明：PB∥平面AMC；
（2）求三棱錐P-AMC的體積．

Answer 1

分析 （1）連結BD交AC于O，連結OM，則OM∥PB，由此能證明PB∥平面ACM．
（2）取AB中點N，連結PN，則PN⊥平面ABCD，由V_P-AMC=V_P-ACD=V_M-ACD，能求出三棱錐P-AMC的體積．

解答 證明：（1）連結BD交AC于O，連結OM，
因為ABCD為菱形，OB=OD，所以OM∥PB．
因為直線PB?平面AMC，OM?平面AMC，
所以PB∥平面ACM．
解：（2）取AB中點N，連結PN，則PN⊥AB，且PN=$\frac{\sqrt{3}}{2}a$，
因為平面PAB⊥平面ABCD，所以PN⊥平面ABCD，
所以${V}_{P-ACD}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}{a}^{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}a$=$\frac{1}{8}{a}^{3}$，${V}_{M-ACD}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}{a}^{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{\sqrt{3}}{4}a$=$\frac{1}{16}{a}^{3}$，
所以${V_{P-AMC}}={V_{P-ACD}}={V_{M-ACD}}=\frac{1}{8}{a^3}-\frac{1}{16}{a^3}=\frac{1}{16}{a^3}$．

點評 本題考查線面平行的證明，考查三棱錐的體積的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養．