Question

5．函數f（x）的導函數f′（x），對?x∈R，都有f′（x）＞f（x）成立，若f（2）=e²，則不等式f（x）＞e^x的解是（　　）

• A． （2，+∞）
• B． （0，1）
• C． （1，+∞）
• D． （0，ln2）

Answer 1

分析 構造函數g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，利用導數可判斷g（x）的單調性，再根據f（ln2）=2，求得g（ln2）=1，繼而求出答案

解答 解：∵?x∈R，都有f′（x）＞f（x）成立，
∴f′（x）-f（x）＞0，于是有（ $\frac{f（x）}{{e}^{x}}$）′＞0，
令g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，則有g（x）在R上單調遞增，
∵不等式f（x）＞e^x，
∴g（x）＞1，
∵f（2）=e²，
∴g（2）=$\frac{f（2）}{{e}^{2}}$=1，
∴x＞2，
故選：A．

點評 本題考查導數的運算及利用導數研究函數的單調性，屬中檔題，解決本題的關鍵是根據選項及已知條件合理構造函數，利用導數判斷函數的單調性．