Question

14．如圖，點列{A_n}，{B_n}分別在某個銳角的兩邊上，且|A_nA_n+1|=|A_n+1A_n+2|，A_n≠A_n+2，n∈N^*，|B_nB_n+1|=|B_n+1B_n+2|，B_n≠B_n+2，n∈N^*（P≠Q表示P與Q不重合）．若d_n=|A_nB_n|，S_n為△A_nB_nB_n+1的面積，則（　　）

• A． {d_n}是等差數列
• B． {d_n²}是等差數列
• C． {S_n}是等差數列
• D． {S_n²}是等差數列

Answer 1

分析 設銳角的頂點為O，再設|OA₁|=a，|OB₁|=c，|A_nA_n+1|=|A_n+1A_n+2|=b，|B_nB_n+1|=|B_n+1B_n+2|=d，由于a，c不確定，判斷C，D不正確，設△A_nB_nB_n+1的底邊B_nB_n+1上的高為h_n，運用三角形相似知識，h_n+h_n+2=2h_n+1，由S_n=$\frac{1}{2}$d•h_n，可得S_n+S_n+2=2S_n+1，進而得到數列{S_n}為等差數列．

解答 解：設銳角的頂點為O，|OA₁|=a，|OB₁|=c，
|A_nA_n+1|=|A_n+1A_n+2|=b，
|B_nB_n+1|=|B_n+1B_n+2|=d，
由于a，c不確定，
則{d_n}不一定是等差數列，
{d_n²}不一定是等差數列，
設△A_nB_nB_n+1的底邊B_nB_n+1上的高為h_n，
由三角形的相似可得
$\frac{{h}_{n}}{{h}_{n+1}}$=$\frac{O{A}_{n}}{O{A}_{n+1}}$=$\frac{a+（n-1）b}{a+nb}$，$\frac{{h}_{n+2}}{{h}_{n+1}}$=$\frac{O{A}_{n+2}}{O{A}_{n+1}}$=$\frac{a+（n+1）b}{a+nb}$，
兩式相加可得，$\frac{{h}_{n}+{h}_{n+2}}{{h}_{n+1}}$=$\frac{2a+2nb}{a+nb}$=2，
即有h_n+h_n+2=2h_n+1，
由S_n=$\frac{1}{2}$d•h_n，可得S_n+S_n+2=2S_n+1，
即為S_n+2-S_n+1=S_n+1-S_n，
則數列{S_n}為等差數列．
故選：C．

點評 本題考查等差數列的判斷，注意運用三角形的相似和等差數列的性質，考查化簡整理的推理能力，屬于中檔題．