Question

13．已知不等式（mx+5）（x²-n）≤0對任意x∈（0，+∞）恒成立，其中m，n是整數，則m+n的取值的集合為{-4，24}．

Answer 1

分析 對n分類討論，當n≤0 時，由（mx+5）（x²-n）≤0得到mx+5≤0，由一次函數的圖象知不存在；當n＞0 時，由（mx+5）（x²-n）≤0，利用數學結合的思想得出m，n的整數解，進而得到所求和．

解答 解：當n≤0 時，由（mx+5）（x²-n）≤0，得到mx+5≤0 在x∈（0，+∞） 上恒成立，則m不存在；
當n＞0 時，由（mx+5）（x²-n）≤0，可設f（x）=mx+5，g（x）=x²-n，
那么由題意可知：$\left\{\begin{array}{l}{m＜0}\\{-\frac{5}{m}=\sqrt{n}}\end{array}\right.$，
再由m，n是整數得到$\left\{\begin{array}{l}{m=-1}\\{n=25}\end{array}\right.$或 $\left\{\begin{array}{l}{m=-5}\\{n=1}\end{array}\right.$，
因此m+n=24或-4．
故答案為：{-4，24}．

點評 本題考查不等式恒成立等知識，考查考生分類討論思想、轉化與化歸思想及運算求解能力，屬于較難題，根據一元一次函數和一元二次函數的圖象和性質，得到兩個函數的零點相同是解決本題的關鍵．