Question

4．在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知a²，b²，c²成等差數列，則sinB最大值為（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• C． $\frac{3}{4}$
• D． $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Answer 1

分析 由等差數列的定義和性質可得2b²=a² +c² ，再由余弦定理可得cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}}{4ac}$，利用基本不等式可得cosB≥$\frac{1}{2}$，從而求得角B的取值范圍，進而利用正弦函數的單調性即可得解．

解答 解：由題意可得2b²=a² +c² ，由余弦定理可得cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}}{4ac}$≥$\frac{1}{2}$，
當且僅當a=c時，等號成立．
又 0＜B＜π，
∴0＜B≤$\frac{π}{3}$，
∵sinB在（0，$\frac{π}{3}$]單調遞增，
∴可得sinB的最大值是sin$\frac{π}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故選：D．

點評 本題主要考查余弦定理、等差數列的定義和性質，以及基本不等式的應用，求得cosB≥$\frac{1}{2}$，是解題的關鍵，屬于基礎題．