Question

對?x₁，x₂∈（0，

π

2

），若x₂＞x₁，且y₁=

1+sinx1

x1

，y₂=

1+sinx2

x2

，則（　　）

• A、y₁=y₂
• B、y₁＞y₂
• C、y₁＜y₂
• D、y₁，y₂的大小關系不能確定

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性

專題：導數的綜合應用

分析：構造函數f（x）=

1+sinx

x

，x∈（0，

π

2

），需要兩次求導判定函數的單調性即可得到．

解答： 解：設函數f（x）=

1+sinx

x

，x∈（0，

π

2

），
則f′（x）=

xcosx-(1+sinx)

x2

，
令u（x）=xcosx-（1+sinx），則u′（x）=cosx-xsinx-cosx=-xsinx＜0，
∴u（x）在x∈（0，

π

2

）單調遞減，∴u（x）＜u（0）=-1＜0，
∴f′（x）＜0，
∴函數f（x）在x∈（0，

π

2

）單調遞減，
∵x₂＞x₁，∴y₁=

1+sinx1

x1

＞y₂=

1+sinx2

x2

，

點評：本題考查了構造函數法、利用導數研究函數的單調性證明不等式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．