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若函數f(x)和g(x)滿足:①在區間[a,b]上均有定義;②函數y=f(x)-g(x)在區間[a,b]上至少有一個零點,則稱f(x)和g(x)在[a,b]上具有關系G.
(1)若f(x)=lgx,g(x)=3-x,試判斷f(x)和g(x)在[1,4]上是否具有關系G,并說明理由;
(2)若f(x)=2|x-2|+1和g(x)=mx2在[1,4]上具有關系G,求實數m的取值范圍.
考點:函數零點的判定定理
專題:計算題,函數的性質及應用
分析:(1)先判斷它們具有關系G,再令h(x)=f(x)-g(x)=lgx+x-3,利用函數零點的判定定理判斷.
(2)令h(x)=f(x)-g(x)=2|x-2|+1-mx2,當m≤0時,易知h(x)在[1,4]上不存在零點,當m>0時,h(x)=
-mx2+2x-3,2<x≤4
-mx2-2x+5,1≤x≤2
;再分段討論函數的零點即可.
解答: 解:(1)它們具有關系G:
令h(x)=f(x)-g(x)=lgx+x-3,
∵h(1)=-2<0,h(4)=lg4+1>0;
故h(1)•h(4)<0,又h(x)在[1,4]上連續,
故函數y=f(x)-g(x)在區間[a,b]上至少有一個零點,
故f(x)和g(x)在[1,4]上具有關系G.
(2)令h(x)=f(x)-g(x)=2|x-2|+1-mx2
當m≤0時,易知h(x)在[1,4]上不存在零點,
當m>0時,h(x)=
-mx2+2x-3,2<x≤4
-mx2-2x+5,1≤x≤2

當1≤x≤2時,
由二次函數知h(x)在[1,2]上單調遞減,
-m+3≥0
-4m+1≤0

故m∈[
1
4
,3];
當m∈(0,
1
4
)∪(3,+∞)時,
若m∈(0,
1
4
),則h(x)在(2,4]上單調遞增,
而h(2)>0,h(4)>0;
故沒有零點;
若m∈(3,+∞),則h(x)在(2,4]上單調遞減,
此時,h(2)=-4m+1<0;
故沒有零點;
綜上所述,
若f(x)=2|x-2|+1和g(x)=mx2在[1,4]上具有關系G,
則m∈[
1
4
,3].
點評:本題考查了學生對新定義的接受能力與分段函數的應用,屬于基礎題.
練習冊系列答案
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科目:高中數學 來源: 題型:

對?x1,x2∈(0,
π
2
),若x2>x1,且y1=
1+sinx1
x1
,y2=
1+sinx2
x2
,則(  )
A、y1=y2
B、y1>y2
C、y1<y2
D、y1,y2的大小關系不能確定

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科目:高中數學 來源: 題型:

點P在圓C1:x2+(y+3)2=1上,點Q在圓C2:(x-4)2+y2=4上,則|PQ|的最大值為
 

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為了解高一年級女生的身體狀況,從該高一年級女生中抽取一部分進行“擲鉛球”的項目測試,把獲得的數據分成[1,3)[3,5)[5,7)[7,9)[9,11)五組(假設測試成績都不超過11米),畫出的頻率分布直方圖如圖所示.已知有4名學生的成績在9米到11米之間.
(1)求實數a的值及參加“擲鉛球”項目測試的人數;
(2)若從此次測試成績最好和最差的兩組中隨機抽取2名學生再進行其它項目的測試,求所抽取的2名學生自不同組的概率.

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)的一條漸近線方程是y=
3
x,它的一個焦點在拋物線y2=48x的準線上,則雙曲線的方程為(  )
A、
x2
36
-
y2
108
=1
B、
x2
108
-
y2
36
=1
C、
x2
9
-
y2
27
=1
D、
x2
27
-
y2
9
=1

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科目:高中數學 來源: 題型:

a,b,c分別為△ABC三個內角A,B,C的對邊,bcosC+
3
bsinC-a-c=0
(1)求證A,B,C成等差數列;
(2)若a=2,△ABC的面積為
3
,求b,c;
(3)若a,b,c成等比數列,求sinAsinC的值;
(4)求sinA+sinC的取值范圍;
(5)若b=
3
,求2a+c的最大值.

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科目:高中數學 來源: 題型:

某校為了了解新的一輪教改模式有效性的“認可度”,在全校師生(可認為很多人)進行了“認可度”的問卷調查,現隨機抽查50名師生,對他們的“認可度”統計分析得如圖
(1)求這50名師生的“認可度”的平均值(每一區間取中點值計算)
(2)設表中個區間“認可度”分數的中點值構成集合A,那么從集合A中任取一值,記下該值后放回,然后再隨機任選一個又記下該值后又放回,設第一次的值記為x,第二次的值記為y,求y>x的概率.

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科目:高中數學 來源: 題型:

函數f(x)=
log2(1-x)-2a,x≤0
x2-4ax+a,x>0
有三個不同零點,則實數a的取值范圍是(  )
A、a≤0
B、a>
1
4
C、
1
4
<a≤
1
2
或a<0
D、a>
1
4
或a<0

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科目:高中數學 來源: 題型:

設Γ={(x,y)|x2-y2=1,x>0},點M是坐標平面內的動點.若對任意的不同兩點P,Q∈Γ,∠PMQ恒為銳角,則點M所在的平面區域(陰影部分)為(  )
A、
B、
C、
D、

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