Question

在平面直角坐標系中，O為原點，A（0，sinα），B（2cosα，0），動點C滿足|

AC

|=1，則|

OA

+

OB

+

OC

|的最大值是

 

．

Answer 1

考點：向量在幾何中的應用

專題：平面向量及應用

分析：由于動點C滿足|

AC

|=1，所以C在以A（0，sinα）為圓心的單位圓上，故設C（cosθ，sinθ+sinα），利用向量模的平方等于向量的平方，將|

OA

+

OB

+

OC

|²=寫成關于θ的三角函數解析式，利用余弦函數的有界性求最值．

解答： 解：∵|

AC

|=1，
∴C在以A（0，sinα）為圓心的單位圓上，故設C（cosθ，sinθ+sinα），
∴|

OA

+

OB

+

OC

|²=（2cosα+cosθ）²+（sinα+sinθ+sinα）²=sin²θ+cos²θ+4cosαcosθ+4sinαsinθ+4=4cos（α-θ）+5≤9
∴原式最大值3；
故答案為：3．

點評：本題考查了向量的模與向量的平方相等以及利用三角函數的有界性求最值，屬于中檔題．