Question

對于函數y=f（x），如果存在正實數n，使f（x）在[-n，n]上的值域為[0，n]，則稱f（x）為“n矩函數“．例如y=x²是“1矩函數”，y=

1

2

x+

3

4

是“

3

2

矩函數”．
（1）指出下列函數是否為“n矩函數”，若是，請寫出正實數n的值組合的集合；
①y=

1

x

；②y=-

1

2

x+1；③y=|x|．
（2）設指數函數f（x）的圖象經過點（1，

4

3

），且g（x）=f（|x-c|）-1是“3矩函數”，求實數c的值．
（3）如果對于（2）中函數f（x）的反函數f^-1（x），當n∈N^*，函數h_n（x）=f^-1（

an+x

bn-x

）（其中a_n＞0且b_n＞0）是“n矩函數”，①請根據n=1時，h_n（x）是“1矩函數”，求a₁和b₁的值并寫出h₁（x）的解析式．

Answer 1

考點：對數函數圖象與性質的綜合應用

專題：計算題,函數的性質及應用

分析：（1）由n矩函數的定義對三個函數依次判斷并求正實數n的值組合的集合；
（2）易求f（x）=（

4

3

）^x，從而得到g（x）=（

4

3

）^|x-c|-1，再由g（x）是3矩函數，代入求解；
（3）由f（x）=（

4

3

）^x得f^-1（x）=log

4

3

x，從而得到h_n（x）=f^-1（

an+x

bn-x

）=log

4

3

an+x

bn-x

，故可化為h₁（x）=log

4

3

a1+x

b1-x

是“1矩函數”，從而由定義求解．

解答： 解：（1）①y=

1

x

不是n矩函數；
②∵y=-

1

2

x+1在[-n，n]上遞減，
∴y的最小值=-

1

2

n+1=0，
∴n=2，
故y=-

1

2

x+1 是n矩函數，{2}；
③對任意n＞0，y=|x|=

-x，x∈[-n，0] x，x∈(0，n]

，
分段判斷y的取值范圍，
當x∈[-n，0]時，y∈[0，n]；
當x∈（0，n]時，y∈（0，n]，
∴當x∈[-n，n]時，y∈[0，n]，
∴y=|x|是n矩函數，n集合為{n＞0；
（2）易求f（x）=（

4

3

）^x，
∴g（x）=（

4

3

）^|x-c|-1，
∵g（x）是3矩函數，
∴g（x）在[-3，3]上的值域為[0，3]，
由于|x-c|≥0，故當x=c時，g（x）有最小值=g（c）=0，
∴c∈[-3，3]，
∵-3≤x≤3，
∴-3-c≤x-c≤3-c，
∴|x-c|≤max{|3-c|，|-3-c|}，
∴當c＞0時，g（x）的最大值=g（|-3-c|）=（

4

3

）³-1≠3，與已知矛盾；
當c≤0時，g（x）的最大值=g（|3-c|）=3，解得c=

3

2

-log

4

3

2或c=

3

2

+log

4

3

2（舍去），
故c=

3

2

-log

4

3

2；
（3）f（x）=（

4

3

）^x，
∴f^-1（x）=log

4

3

x，
∴h_n（x）=f^-1（

an+x

bn-x

）=log

4

3

an+x

bn-x

，
若h₁（x）=log

4

3

a1+x

b1-x

是“1矩函數”，
其定義域為：{x|-a₁＜x＜b₁}，
∵

a1+x

b1-x

=

a1+b1

b1-x

-1是單調遞增函數，
又∵log

4

3

x也是遞增函數，
∴根據復合函數的單調性可知，h₁（x）也是遞增函數；
∴h₁（x）_min=h₁（-1）=0，h₁（x）_max=h₁（1）=1；
即

a1-1

b1+1

=1，

a1+1

b1-1

=

4

3

；
解得，a₁=15，b₁=13．
故h₁（x）=log

4

3

15+x

13-x

．

點評：本題考查了學生對新定義的接受與應用能力，屬于中檔題．